一文了解零知识证明当中的Sum-check Protocol_DEF:Aave ENJ v1

随着比特币、区块链、智能合约等概念的铺开,越来越多的人关注到Web3领域的蓬勃发展。而在技术方面,也有许多开发者关注到支撑区块链底层的密码学协议。在这之中,零知识证明协议以其独特的特性大放异彩,无论是在实现隐私保护,还是在实现Layer2性能扩容的zkrollup项目当中,都发挥着关键的作用。零知识证明是一类算法的统称,到目前为止,研究者发明了包括Plonk、Groth16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks等等在内的许多种协议。不同的协议适用于不同的计算场景,复杂度和效率也各有不同,例如Foaks就以线性的证明时间和较小的证明长度为优势。上述的每一种协议,协议目标是相同的,就是证明者希望在不向验证者透露任何关于自己的秘密的信息的情况下让验证者相信自己拥有秘密。sum-checkprotocol是很多协议的组件,最早在当中被提出。很多计算问题可以被转化成sum-checkprotocol能处理的问题,从而生成证明。包括Foaks在内的不少协议的底层协议都基于sum-checkprotocol,在其上进行调整来实现。在FoxTech所采用的Foaks证明系统当中,该协议同样发挥着重要的作用。具体来讲,为了实现对于某一操作码opcode正确性的证明,需要先将其转化为算术电路,之后转换为矩阵,最终生成多项式,对多项式应用证明系统当中的算法,在最后压缩证明的部分当中,同样将证明者和验证者之间的交互过程转换为计算某个和式,也就是sum-checkprotocol的过程。

金色晨讯|7月16日隔夜重要动态一览:21:00-7:00关键词:13部门、推特账号被黑、LINK、以太坊2.0

1.CME比特币期货7月合约收跌1.29%。

2.美股三大股指收盘均上涨。

3.以太坊2.0即将发布客户端Prysm。

4.巴哈马央行:接近推出基于移动电话的CBDC。

5.Stellar已集成至三星区块链密钥库。

6.暗网比特币混合服务使用量猛增2100%。

7.LINK市值超过LTC 暂排名第8位。

8.巴菲特、奥巴马等推特账号被黑,用于推广数字货币局。

9.国家发展改革委等13部门:探索运用区块链完善多元价值传递和贡献分配体系。[2020/7/16]

图1:Sum-checkProtocol所在环节Sum-checkProtocol

1.协议目标

协议的目标非常简单且容易理解。假设我们有一个定义在有限域F上的v元多项式,记作g。协议的目标是计算和式:

独家 | Bakkt期货合约数据一览:金色财经报道,Bakkt Volume Bot数据显示,3月11日,Bakkt比特币月度期货合约单日交易额为901万美元,环比下降4%,未平仓合约量为735万美元,环比下降10%。[2020/3/12]

和在zkRollup当中考虑的“外包计算”的场景类似,在应用当中,上述式子的计算量会非常大,我们希望将这个式子的计算交给证明者,之后证明者向验证者证明自己的计算结果是正确的。2.协议假设

首先,需要明确在这个协议当中验证者的能力。我们假设验证者拥有可以计算函数g的预言。也就是说,对于验证者而言,确定某个输入r1,...,rv之后,计算g(r1,...,rv)是容易的。但是计算完整的结果H是困难的。事实上,在现实应用当中,预言不会存在,但是可以通过某种手段实现,例如我们可以让证明者帮助验证者计算这个值,并用更多的技巧附加正确性的证明。第二点,关于协议的目标,事实上sum-check协议可以对于任意的集合B计算bBmg(b),但是不失一般性的,我们假设B={0,1}。3.协议过程

金色晚报 | 3月9日晚间重要动态一览:12:00-21:00关键词:央行、V神、SEC、重庆

1. 央行向区块链交易平台注资470万美元;

2. V神:PoS的效率比PoW高得多 PoW链最终会消失;

3. 经济学家彭文生:比特币本身不创造价值 其交易结果于整个社会来讲是再分配;

4. 波士顿证券代币交易所BSTX向SEC提交证券代币市场申请修订提案;

5. 重庆市近20家银行积极运用跨境区块链平台 为贸易企业战“疫”提供有力支撑;

6. BTC挖矿难度现上调至16.55T 创历史新高;

7. PayPal CTO:加密货币更像是资产游戏而不是货币;

8. BTC现报7892.03美元,日内跌幅6.05%,前十主流币普跌。[2020/3/9]

协议一共包含v轮。在每一轮当中会处理g中的一个变量。第1轮:

如果证明者是诚实的,应当成立H=g1(0)+g1(1)。验证者验证,若通过则选择随机数r1发送给证明者。注意到,根据协议的假设,证明者可以完成上述验证。我们用degi(p)来表示多元多项式p当中,第i个变量的次数。g1(X1)的次数为deg1(g),所以我们知道g1可以用deg1(g)+1个域元素表出。第j(j>1)轮:

金色晚报 | 1月5日晚间重要动态一览:12:00-21:00关键词:美国国税局、福州、区块链+金融、重庆

1. 美国国税局:单笔加密货币捐款超过5000美元需要进行税务评估。

2. 福建自贸区福州片区将支持开展“区块链+金融”试点。

3. 重庆市渝中区:积极创建国家级区块链产业创新示范园区。

4. “区块链”入选2019年文化产业十大关键词。

5. BTC暂报7455美元,近24小时上涨2.17%,市值为1361.74亿美元。[2020/1/5]

如果证明者是诚实的,应当成立gj-1(rj-1)=gj(0)+gj(1)。验证者验证,若通过则选择随机数rj发送给证明者。第v轮:

金色晚报 | 12月27日晚间重要动态一览:12:00-21:00关键词:北京证监局、陈纯、韩国央行、日本金融厅

1. 北京证监局发布进一步防范“虚拟货币”交易活动的风险提示。

2. 中国工程院院士陈纯:区块链产业生态初具 强监管方能行稳致远。

3. 央行狄刚:区块链为解决贸易融资业务痛点问题提供了新的思路。

4. 韩国央行将成立央行数字货币(CBDC)研究专项工作组。

5. 胡继晔:EURO Chain更偏向于B端 DCEP更偏向于C端用户。

6. 河北省工信厅副厅长:深化区块链等技术与制造业融合发展。

7. 北京市将探索基于区块链的中小企业金融服务场景应用试点。

8. 日本金融厅:不能在日本创建和出售虚拟货币ETF。

9. 马来西亚积极发展虚拟银行业务 将发放五家数字银行牌照。

10. 金色财经主办的“与时共创”颁奖盛典在京举行。[2019/12/27]

图2:TheFoaksSum-checkprotocolCompleteness:若证明者拥有有效的Witness,则验证者会以不低于的概率接受证明;Soundness:若证明者没有有效的Witness,则验证者会以低于negl的概率拒绝证明Succinctness:Proof的Size必须远小于Witness的Size;Zero-knowledge:验证者无法通过证明的交互过程获取任何关于witness的信息#其中negl为任意可忽略的函数4.协议复杂度

通过第3部分的论证,我们可以看到,协议一共由v轮组成,每一轮当中证明者需要给验证者发送一个degi(g)次的多项式,也就是deg1(g)+1个域元素,所以总体的通信复杂度是O(i=1vdegi(g))。关于计算复杂度方面,在每一轮验证都通过的情况下,证明者最多需要进行2v次对g取值的运算;验证者做的运算是对每一轮的gj进行取值以及在最后一轮对g取值。下表具体展示了复杂度的结果,其中T代表访问一次预言也就是对g进行一次求值所需要的开销。

图3:Sum-check协议的复杂度Sum-checkProtocol的应用

在许多的零知识证明算法当中,sum-checkprotocol都在发挥着重要的作用。许多问题的证明,都依赖于将原始的问题转化为sum-check的形式,再完成后续的步骤。例如,可以利用sum-checkprotocol来计算一个无向图中的三角形数量。首先,我们使用邻接矩阵A表示无向图G,设E为其边集合,则Ai,j=1(i,j)E,也就是说若点i,j之间存在一条边则Ai,j=1否则为0。对于点i,j,k,三点构成三角形的条件是Ai,j=1,Ai,k=1,Aj,k=1。接下来记矩阵A为一映射表,表示的映射为f:{0,1}logn{0,1}logn{0,1},其中logn为i,j的二进制长度。所以对于点i,j,k,三点构成三角形的条件进一步可以表示为f(i,j)f(i,k)f(j,k)=1。

此外,在许多证明系统当中,都采用了sum-checkprotocol作为底层逻辑进行构造。下图展示了根据在sum-check基础上进行不同改造得到的不同证明系统。

图4:Sum-checkprotocol在四类证明系统当中的应用

图5:Sum-checkprotocol在简洁证明方面的具体应用结语

本文梳理了sum-check协议的具体流程,以及讨论了协议的复杂度,同时展示了其在许多证明系统当中的应用。在web3领域不断拓展的当下,密码学作为区块链技术的底层构件,其作用显得越来越重要。随着zkrollup、隐私保护等等依赖零知识证明的应用和项目逐渐诞生,sum-check协议,作为诸多证明系统的重要组件,也正在被学界和产业界同时给予越来越多的关注。参考文献

CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:859–868,October1992.https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdfhttps://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf介绍sum-check的中文博客https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754

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金宝趣谈

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