前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：
用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof
1.预备知识
aL：表示向量{a1、a2……an}
2n：表示向量{20、21…2n-1}
<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量
主流交易平台BCH合约持仓量创两年来新高，约合6.14亿美元:6月30日消息，据Coinglass数据显示，截至今日，主流交易平台BCH合约持仓量增至约6.14亿美元，创2021年6月以来新高。[2023/6/30 22:10:18]
2.证明
Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=?grhv?^v??}
public-xwitness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
Nansen创始人建议Circle于下周一开始赎回USDC:金色财经报道，Nansen创始人Alex Svanevik发推表示，我认为Circle和USDC可以挺过难关，接下来几天需要一流的执行力，并建议道，我会关注4件事：1. 周一开始的完美赎回；2.首席执行官在推特上发布准确赎回数字的每日通讯；3. 周末与十大做市商对话，他们需要100%信任赎回；4. 不公开呼吁救助。[2023/3/12 12:57:41]
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.2n+1个约束转换成1个约束
Tortuga Finance正基于Aptos建立非托管流动性质押协议:8月14日消息，流动性质押项目Tortuga Finance发推称，正在基于Aptos建立非托管流动性质押协议。Tortuga Finance致力于支持独立验证器，并提高Aptos的中本系数。[2022/8/14 12:23:59]
=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
LBank支持ZKSwap主网上线前4000万个ZKS免费空投:据官方消息，LBank将支持4000万 ZKS空投计划。用户只需将资产存放于LBank，无需任何操作，即可根据ZKS官方规则，获取对应数量的ZKS。挂单及参与活动均不影响此次空投。
具体规则如下：LBank将在2021 年 1 月 29 日 22:00 起，截止到主网上线前每日对用户持仓进行快照，待官方空投后，LBank将根据具体数量，以最接近时间的快照数据，对用户进行ZKS空投。[2021/1/29 14:22:09]
验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。
4.三个点积优化成1个点积
=>令
L=aL?-z*1n
R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n
δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>
5.验证：
证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.一个零知识证明协议
由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：
此时，定义公式(12)
可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0?=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
需要校验：
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0?+t1x+t2x2
需要校验：
=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。
附录
Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
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