不同多项式承诺方案列表
上表中，FRI是Starkware采用的多项式承诺方案，可以实现量子级别的安全，但证明的数据量却是最大；IPA是Bulletproof和Halo2零知识算法默认的多项式承诺方案，验证时间相对较长，采用的项目有门罗币，zcash等，前两者是不需要初始可信设置的。
由上图可以看出在证明大小与验证时间上，KZG多项式承诺的优势比较大，KZG承诺也是目前应用最广的一种多项式承诺方式。但KZG是基于椭圆曲线，配对函数，需要初始可信设置的。
ETH升级路线与多项式承诺的关联
在ETH相关生态及其未来升级路线中，都可以看到多项式承诺的踪影。
TheMerge：
现时的以太坊主链和BeaconChain将会合并，原本的PoW(工作量证明)共识将会转变成PoS(权益证明)。
TheSurge：
添加DAS，极大的提高ETH的扩展性，通过Danksharding增强rollup性能。
TheVerge：
引入Verkle树(VerkleTrees)的设计来优化以太坊上的数据存储。
ThePurge：
通过剔除历史数据和消除技术债务，验证者不再需要使用大量硬盘空间去进行验证工作。
TheSplurge：
四个不同部分升级后的协调，旨在减少错误(Bugs)的出现和确保网络能畅顺运作，还有就是EVM改进和添加账号抽象模型等。
其中TheSurge升级将借鉴多项式承诺技术实现数据可抽样性功能，TheVerge升级将利用多项式承诺来优化其数据结构，ETHL2的zkrollup也都采用了多项式承诺来实现其零知识证明带来的性能拓展。
什么是KZG多项式承诺
此文这里只介绍较好理解的KZG多项式承诺，KZG多项式承诺也被称为卡特多项式承诺方案，是Kate，Zaverucha和Goldberg一起发表的。在一个多项式方案中，证明者计算一个多项式的承诺，并可以在多项式的任意一点进行打开，该承诺方案能证明多项式在特定位置的值与指定的值一致。
之所以被称为承诺，是因为当一个承诺值发送给某对象(验证者)时，证明者不可以改变当前计算的多项式。他们只能够对一个多项式提供有效的证明；当试图作弊时，它们要不无法提供证明，要不证明被验证者拒绝。
KZG数学原理
详细可参考QiZhou博士在DappLearning讲解的关于?KZG视频。
在理解KZG之前，可以先了解一下多项式、群、环、域、椭圆曲线、生成元、配对公式、朗格朗日插值等数学定义。
具有可信设置的多项式承诺
单个证明
卡特证明单个数据的公式推衍如下，由于椭圆曲线群只支持加法同态，无法支持多项式之间的乘法，这是就需要通过配对函数解决，
由于椭圆曲线群并不支持运算多项式之间的乘法运算，所以此时得采用配对函数去解决。
由于椭圆曲线群并不支持运算多项式之间的乘法运算，所以此时得采用配对函数去解决。
批量证明
具体应用场景
多项式承诺应用方向总结起来可以分为3大类
数据可用性数据结构优化零知识证明系统1.数据可用性
DAS
核心目的：数据缺失则无法通过大多数节点抽查
尽力做到：占用带宽小，抽样过程所需计算量小
纠删码
纠删码会增加额外数据块，这种情况很容易通过抽样调查发现，从而提升安全性。
以上图为例，有4个数据，一次只能抽样一个，假设一个数据有问题，每个用户抽样发现错误的概率是1/4，但是加入两数据块后，还是一个数据有问题，用户抽样发现的概率可以高达1/2。这样就能大幅提升安全性。
KZG也可实现纠删码，利用拉格朗日公式：
比如把(0,3)，(1,6)带入公式可得，y=3x+3
y1，y2?可以理解为要保存的数据，
对应点(3,12)等等，其中?y?值可以作为纠删码数据，其中任意两个点都可以推出原多项式公式系数。
不同数据可用性项目组成
Celestia=Tendermint(cosmos)+2d纠删码+欺诈证明+Namespacemerkletree+IPFS基础设施
PolygonAvail=Substrate(Polkadot)+2d纠删码+KZG多项式承诺+IPFS基础设施
ETHprotoDankSharding=Blobs数据+2d纠删码+KZG多项式承诺+ETH基础设施
EIP-4844升级将在TheMerge之后的下一个以太坊分叉升级中引入“proto-danksharding”并添加blob交易类型，这有望将第2层Rollup的可扩展性提高，同时为实现完全分片铺平道路。
BlobTransaction
增加一种新的交易类型，这种交易包含额外的存储空间——BlobsBlob开始只有128KiB的存储空间一个交易最多包含2个Blob，即256KiB
一个Block最多包含16个，即2MiB；Target是8个，即1MiB
3.Blob以KZGCommitmentHash作为Hash，用于数据验证，作用和Merkle类似
4.节点同步链上的BlobTransaction后，Blob部分会在一段时间后过期删除
L2需要通过更新目前在L1的合约，以支持DankSharding。
Celestia通过欺诈证明实现。当见证人发现数据没有被正确采用删码技术，那么这个人就会将欺诈证明提交从而来提醒其他节点。但是这里需要最少诚实假设和同步假设。
protoDanksharding后的以太坊和PolygonAvail则采用了KZG多项式承诺（KZGcommitments)的方法。
KZG多项式承诺方案，理论上要优于欺诈证明方案，带宽需求更小，抽样所需计算量也更小，也免去了欺诈证明中的包括少数诚实假设和同步假设等的安全假设。未来ETH也有意引入抗后量子密码学(参考stark，采用哈希，不在使用椭圆曲线作为基础)，避免量子计算机攻击。
2.数据结构优化VerkleTree
VerkleTree的概念在2018年推出，作为ETH升级的一个重要部分，其相比于MerkleTree，在Proof的大小上，有着很大的提升；对于规模在十亿级别的数据，MerkleTree的proof大约需要1kB，而对于VerkleTree，它将小于150Bytes。
与MerkleTree一样VerkleTree也能实现ProofofInclusion，而且只需KZGroot和Data就能验证，不需要额外的Proof，更省带宽。
1.需求：StatelessClient
节点不存完整的StateTree，只获取需要的State来验证Block
PortalNetwork
对StateTree的PoI有更高的性能要求
2.回顾DataAvailability里的?KZGcommitment
a.每个leaf都是polynomial上的点
b.constantsizeproof，和leaf数量无关
3.VerkleTree
在不同树结构中构建证明，更新证明，以及证明所需的复杂度：
Verkle方案不需要以太坊客户端下载完整的状态数据，使得ETH验证者轻节点成为可能(甚至可支持手机运行)，多项式承诺需要的证明空间复杂度大幅降低，带宽量需求量也大幅减少。
3.?零知识证明系统
早期zk技术属于线性PCP类。除要求可信设置外，主要缺点是如果需要为不同的计算提供证明，都需要一次新的设置。近期zk技术PIOP类支持通用初始设置和透明设置。
新的zk证明系统通常可以描述为PIOP+PCS。前者可被视为是证明者用来说服验证者的约定程序，而后者使用数学方法确保该程序不会遭到破坏。项目方可以按需修改PIOP，且可以在不同PCS中进行选择。
由Amber文章里的图可以看到zk系公链项目采用KZG方案的最多，有PloygonHermez，Scoll，Zksync2.0，Aztec，Aleo，Manta，以太坊基金会支持的PSE也采用的KZG方案。而Starknet，Risc0，PolygonMiden采用的是FRI方案，PloygonZkvm(Hermez)则是FRI与KZG的结合。
值得一提是，一些新的零知识证明系统支持多项式承诺方案的切换，KZG未来也可以切换成其他多项式承诺方案。
总的来说，多项式承诺正在重塑整个区块链的架构，不论是在链的数据结构优化上，模块化区块链的数据可用性上，还是零知识证明系统上都将大有作为。其他地方是否还存在应用场景也是非常值得探索与跟进的。
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