前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：1.用于rangeproof；2.用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。
Rangeproof
1.?预备知识
aL：表示向量{a1,a2……an}
2n：表示向量{20,21…2n-1}
<a,b>：表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……an*bn}，结果是一个向量
2.?证明
Alice想要证明
v?
=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=grhv^v?}
public-x??????????witness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
建信基金董事长：区块链等新技术给资管行业带来颠覆性创新变革:9月14日消息，建信基金董事长孙志晨表示，在移动互联网时代，以5G、区块链、AI等为代表的新技术将给资产管理行业带来投资理念、逻辑、技术、模式等各方面的颠覆性创新变革。（中国基金报）[2020/9/14]
V=grhv????(1)
<aL,2n>=v???(2)
aLoaR=0n??(3)
aR=aL-1n???(4)
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a
L元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.?2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n。
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
1.验证者随机选取一个数y发送给证明者；
北京市丰台区常务副区长：丽泽金融商务区将持续聚焦数字货币技术研发:9月9月上午，2020年中国国际服务贸易交易会主场推介“北京日?开放引领”活动上，丰台区常务副区长周新春介绍道，丰台区是首都金融产业的试验区，重点是鼓励金融机构到丽泽开展数字金融，推动共建金融科技的应用场景。随着数字货币研究所在数字货币研发方面的突破，重点要建设数字金融科技。周新春表示，未来，丽泽金融商务区要积极推动金融产业的数字化创新，依托数字货币研究所，下一步将持续聚焦数字货币技术研发、数字资产交易等方面。（北京商报）[2020/9/9]
2.证明者要证明：
<aL,2n>=v(5)
<aL,aRoyn>=0???????(6)
<aL-1n-aR,yn>=0???(7)
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a
L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
1.验证者随机选取一个数z发送给证明者：
2.证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：
z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)
声音 | 保监会原副主席周延礼：运用区块链等技术实现供应链金融参与各方信息共享:据中国证券网报道，国务院参事室特约研究员、原保监会副主席周延礼今日在2019中国供应链高峰论坛上，对做好供应链金融服务工作提出了建议。他建议，在信息共享方面，建立供应链金融公共服务平台，实现参与各方信息共享。运用大数据、区块链等技术，连接金融机构、核心企业、中小微企业、第三方物流等参与主体数据信息，实现信用信息在线共享、产品在线服务、非标资产在线交易、政策发布及非现场监管等公共服务功能。[2019/5/19]
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积
4.?三个点积优化成1个点积
=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
ConsenSys执行董事：区块链技术有可能帮助生活贫困的大屠杀幸存者:据cointelegraph消息，以太坊软件公司ConsenSys的执行董事Vanessa Grellet就“区块链上的社交影响”发表了积极声明。 Grellet认为，区块链技术有可能解决诸如帮助成千上万目前生活贫困的大屠杀幸存者等重大问题。[2018/5/29]
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)
快的打车创始人陈伟星：区块链是用来创造信用的技术:快的打车创始人陈伟星在今日的“三点钟无眠区块链”分享了自己的观点，他认为区块链是用来创造信用的技术，而不是创造实际财富的工具。比特币只是作为尺度货币来衡量各自的相对价格，而不是所有的商品都需要用比特币来支付。所以既不会因为货币问题（比特币的有限总量）导致“通货紧缩”，也不会因为货币问题（过多的币）导致“通货膨胀”。这是多货币时代有望实现的特征。对比原来的货币体系，这样的好处是，货币在需要的地方产生，而不是通过宏观调控传导到需要的地方去。[2018/2/22]
=>?令
L=?aL-z*1n
R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n
δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>
5.验证：
1.证明者把L/R/V发送给验证者；
2.验证者事先算好δ
3.验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n>=v算出v
4.验证者根据L,R,v,δ验证等式<L,R>=z2*v+δ
因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.?一个零知识证明协议
由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s
L
、s
R来隐藏a
L，a
R。如公式(10)(11)所示：
l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)
r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)
此时，定义公式(12)
t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)
可以看出系数t
0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)
r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n
需要校验：
P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n
=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n
=?hμgl(h`)r
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0+t1x+t2x2
需要校验：
=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2
=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2
=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2
=>当且仅当t和τxwelle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共{
l/r/t/
τ
x
/
μ
/T1/T2/A/S}个元素给验证者，总共2n+3个Z
p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))
附录
1.Bulletproofs论文：
chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf
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