作者：李昊轩?
来源：
微众银行区块链
隐私保护为何选用密码学算法？密码学算法背后有哪些神奇的数学理论？3何时比9大？计算可逆性错觉究竟是如何在数学领域被打破？
这里，我们将从密码学信任的理论基础出发，分享在隐私保护技术方案中应用密码学技术的一些思考：如何理解密码学算法的能力边界，如何客观地比较不同密码学算法对于隐私保护方案有效性的影响。
这一切，要从密码学神奇的“不对称性”说起。
神奇的“不对称性”
早在公元前，古埃及、古罗马、古希腊等古文明均已开始使用密码技术来保护信息的机密性，历史上最早的不对称性表现为选用特殊的信息编码方式，如果第三方不知道具体的编码方式，则难以解码对应的信息。
大约经过4000多年的发展，也就是近代20世纪初，现代密码学正式成型，引入了关于不对称性更为严谨的数学定义。比较有代表性的早期论文包括1929年LesterS.Hill在美国数学月刊上发表的《CryptographyinanAlgebraicAlphabet》。
瑞士密码学家Christian Cachin：Ripple网络中没有共识:瑞士密码学家、伯尔尼大学计算机科学家Christian Cachin在其博客文章“Ripple网络中没有共识”中表示，对Ripple协议的技术分析表明，在陈述的假设下，其既不能确保安全，也不能确保其活动性。文章称，借助其模型可证明，即使在极端温和的对抗条件下，Ripple的协议也无法达成共识，并且可能妨碍安全性和活力。尤其是，网络可以在Ripple声明的UNL重叠的标准条件下，且在只有极小部分的恶意节点的情况下分叉。在网络忽略或延迟正确节点之间的消息的时间段内，恶意节点可能只是向正确的节点发送冲突消息。其还演示了即使所有节点都具有相同的UNL并且只有一个拜占庭节点，Ripple的共识协议也可能会失去活力。如果发生这种情况，则必须手动重新启动系统。文章得出结论称，Ripple网络的共识协议很脆弱，无法确保计算机科学和区块链从业人员普遍理解的共识。[2020/12/3 22:55:52]
20世纪末，随着因特网的普及，大量敏感数据在网络上进行传输，产生了大量的数据内容保护的需求，密码学技术也因此得到飞速发展。
在现代密码学中，关于不对称性，大家最熟悉的概念莫过于“公钥”和“私钥”。
以加密通信为例，主人公小华要向他的朋友美丽通过加密的方式发送一份电子邮件，可以先找到美丽的公钥，使用公钥对邮件内容进行加密，并将加密后的得到密文发送给美丽。美丽收到邮件内容的密文之后，通过自己的私钥进行解密，最终得到邮件内容的明文。
声音 | 中国传媒大学计算机学院副教授：区块链反过来激活了数学和密码学的新应用:在11月8日由中国人民大学国家版权贸易基地主办的“区块链技术与版权保护”研讨会上，中国传媒大学计算机学院副教授姜正涛从密码学角度解读了区块链与版权保护之间的关系。他表示：“密码学过去是‘赔钱’的技术，属于纯开销。有了区块链之后，计算结果本身就有价值，比如电子货物、比特币、版权信息等本身就具有价值，所以区块链反过来激活了数学和密码学的新应用。”而且，区块链可以记录所有发生的交易，可以有效避免造假。另外，区块链对低价值、实时产生的版权数据记录的成本比较低，相较于传统做法，区块链可以节省权利人提交材料、等候审批的人力物力，对于作品价值比较低但是数量大的作品，可以提供较好的保护渠道。[2019/11/21]
以上过程中，密码学算法神奇的不对称性体现在以下问题中：
为什么只有美丽可以解密邮件内容？
为什么其他人不能通过美丽的公钥反推出她的私钥？
这些问题的答案，都要归结于密码学中的计算困难性理论。
计算困难性理论
在隐私保护场景中，计算困难性理论具体表现为，对同一隐私数据主体，通过不同计算路径，获得相同信息的计算难度具有不对称性。不对称性中，相对容易的计算方式被用来构造授权的数据访问，而困难的计算方式被用来避免非授权的数据泄露。
现场 | 姜海：密码学将随着黎曼猜想等理论研究的深入迎来大发展:金色财经现场报道，今日，2018可信区块链峰会在北京召开。在主题为“区块链安全焦点关注”的区块链安全论坛上，丁牛科技有限公司CEO姜海结合最近黎曼猜想被证明引起了密码学界的高度关注，分析了黎曼猜想与区块链密码安全。他提出，尽管黎曼猜想的证明对于传统密码安全有极大的冲击，但是区块链技术的安全建立在SHA-256、椭圆曲线、算法校验等基础之上，在使用过程中能够极大地抵抗密码攻击。尽管最近有很多的安全事件发生，而其根本原因在于程序的违规操作。未来随着随机发生器、量子计算机以及黎曼几个等基础理论的研究，密码学将会有更大的发展空间。[2018/10/10]
构造这样的不对称性的方式有很多，最经典的方式之一，就是千禧年七大难题之一——P和NP问题。
P问题是确定性图灵机，即通用计算机计算模型，在多项式时间(O(n^k))内可以计算获得答案的一类问题。NP问题是确定性图灵机在多项式时间内可以验证答案的正确性，但不一定能计算出答案的一类问题。
关于同一份答案，验证过程比计算过程要容易很多，由此我们可以构造出密码学算法所需要的计算难度不对称性。
NP问题是否能够通过有效的多项式时间算法转化成P问题，由此破解计算难度不对称性？目前学术界尚无定论。
理论研究进一步表明，对于NP问题集合中的核心问题，即NP完全问题，如果能够找一个有效的多项式时间算法来解决任何一个NP完全问题，那其他所有NP问题都可以基于这个算法来构造出有效的多项式时间算法。由此，之前提到的计算难度不对称性将不复存在。
声音 | 密码学高级研究员Vidyasagar Potdar：许多加密货币交易所未建立足够的密码安全壁垒:根据Itp.net消息，近日，科廷大学高级研究员Vidyasagar Potdar进行的一项研究表明，现今流行的11种加密货币交易所均存在密码安全性问题，这些安全漏洞可能直接导致用户的加密货币或是用户凭证被盗用，交易所也会因此丧失声誉和公信力。同时，Potdar还认为交易所应该普遍提高安全标准，因为安全性对于金融交易至关重要，这也是用户选择交易所的信心来源。[2018/9/4]
幸运的是，经过将近70年的科学探索，这样的算法并没有被发现。在有限时间内，现代计算机难以求解这些问题的答案，所以现代密码学可以比较安全地基于这些NP完全问题来构造有效的密码学算法。
神奇的“计算困难问题”
形象地讲，计算困难性理论的核心就是构造一个迷宫，如果不知道捷径，是很难到达出口的。
我们日常所用的各类密码学算法，其有效性都与这一理论息息相关，这里重点以非对称密码学算法为例，介绍其中经典的迷宫构造蓝图，即三大计算困难问题：
密码学之父：不管每个人拥有多少的财富都会想要去贡献自己所拥有的价值:在2018分散经济讨论会上， 密码学之父David Chaum发表演讲称，不管每个人拥有多少的财富都会想要去贡献自己所拥有的价值。盲签名是一种只需要数字就能收款的具有革新价值的想法，类似于比特币和以太币等虚拟货币，以区块链为基础的技术可以确保收款人和汇款人的匿名性，加密学帮助了人们的日常生活，希望日后可以共享、分享信息，更进一步可以直接以民主的方式开创可能性。[2018/4/3]
大数分解困难问题
离散对数困难问题
椭圆曲线上的离散对数困难问题
大数分解困难问题
给定两个大素数p和q，计算n=p*q是容易的。然而，给定n，求解p、q则是困难的。
整数的素数分解是数论中最著名的问题之一，目前，求解素数分解最有效的方法称为数域筛法，即通过构造代数数域不停地对整数可能的集合进行迭代运算。
目前，大整数分解问题仍不存在更有效的分解方法，因此密码学一些方案利用大数分解困难问题构造相应协议，如RSA系列算法将其困难性规约为大数分解困难问题。如果大整数分解困难问题被破解，使用RSA密码方案保护的隐私数据也会相应遭到破译。
离散对数困难问题
在模为n，生成元为g的有限域中，给定整数a，计算g^a=b是容易的。然而，给定b和g计算a则是困难的。
许多新接触密码学的读者都会对离散对数问题产生计算可逆性的错觉，看起来就是进行一次log运算的事情，但真相并非如此。
在实数域，元素有一个非常重要的性质，全序关系，所以很容易比较大小。例如，在实数域中9>2且3>2，一定能推出9>2。
在计算log2(9)时，计算机会对以元素9为输入的函数结果进行二分查找法，首先计算(9/2)^2和9进行比较，再计算/2)^2…。通过不停比较元素大小的性质，从而计算log最终的结果。
然而，在有限域中，元素之间并不存在全序关系。在模为7的有限域中，可以看到诸如9等于2，3比9大的关系存在。
因此，无法通过有效的算法计算上述过程中的a。许多著名的密码协议安全性都是建立在离散对数困难性上的，如Diffie-Hellman密钥交换协议、ElGamal加密、DSA算法等。
椭圆曲线上的离散对数困难问题
当前，椭圆曲线密码学算法是当前密码应用的主流，每一个隐私数据都能以坐标(x,y)的形式，表示为椭圆曲线上的一个点。与一般离散对数困难问题类似，椭圆曲线上的离散对数困难问题可以表示为：
在有限域F上的椭圆曲线群，点P为曲线上某个点，给定整数a，计算a*P=Q是容易的。然而，根据P和Q计算a则是困难的。
有别于普通代数运算，椭圆曲线上的点运算定义如下：
可以看到，椭圆曲线上的点运算和普通实数域上的运算有很大差别，当前尚未存在一种有效的算法对椭圆曲线离散对数问题进行破译。目前，最常用的公钥密码算法体系ECDSA、EdDSA、国密SM2等都是基于这一困难问题。
客观比较不同的密码学算法
由于不同的密码学算法构造使用了不同的困难问题，对应地，不同的困难问题也势必会引入不同的安全假设。
理解这些安全假设，是企业进行技术选型，客观地判断基于不同密码学算法构造隐私保护方案孰强孰弱的关键。
这里，我们需要进一步引入“安全参数”的概念。
安全参数是一个衡量密码学算法保护隐私数据强度的数值。对位于“同一等级"的安全参数值来说，不同密码学算法的安全级别基本相同，即面对已知最有效的攻击方式，算法被破解导致隐私数据泄露的概率相同。
一般情况下，安全参数值的大小，直接体现为密钥长度的长短。在同一等级下，安全参数值有大有小，对应的密钥长度也有长有短。
基于不同困难问题的密码学算法密钥最小长度，美国国家标准与技术研究院NIST作如下推荐，其中，每个单元格表示需要使用密钥长度的最小比特数。
通过上表，我们可以看到，即便密钥长度相同，选用不同困难问题获得的安全级别是不同的。一般而言，基于同一困难问题构造的技术方案，密钥长度越长，安全性越高，相应地，系统效率越低，其中往往也伴随其他系统设计上的取舍。
不同场景应按照业务需求选择适合的技术方案和密钥长度，具体有以下几点需要特别注意：
隐私保护技术方案的安全性取决于其使用的密码学算法实现中最低的安全参数等级。
在未指明安全参数的前提下，进行密码学算法的安全性比较没有实际意义。
如果安全参数值很小，一般表现为对应的密钥长度很短时，无论密码学算法设计多么精妙，实际效果可能都是不安全的。
由于困难问题选用上的差异，密码学算法的理论强度没有最强，只有在满足特定安全假设下的够强，强行比较基于不同困难问题的密码学算法哪个更强通常没有实际意义。
计算困难问题归根结底还是一个计算问题，随着计算机计算能力的增强，或是算法理论研究进展的推进，这些困难问题的安全性都会发生变化。如RSA加密算法，NIST密钥管理准则认为，2010年后，1024位的密钥不再安全，需要增加到2048位的密钥长度，预计其安全有效性可以保持至2030年。
对于企业而言，这里的启示在于，不能简单地认为，隐私保护技术方案现在有效，就保证了10年后依旧有效。无论什么样的隐私保护技术方案都有其时效性。
企业如果能够根据权威技术组织推荐的安全参数、算法方案及时更新现有的系统，困难性理论就能够有效保障隐私保护技术方案的有效性历久如新。
正是：密码学技术易守难攻，困难性理论当居首功！
作为密码学安全的基石，计算困难问题和相关的安全参数，是企业有效进行密码学算法选型的关键考察点。企业应用落地时，需充分考虑隐私数据保密的有效期，选择合适的密码学算法和密钥长度，对数据安全性和系统效率进行必要衡量。
除了与密码学算法直接相关的计算困难问题，一个完整的隐私保护技术方案通常还需要构造密码学协议，来组合多种密码学算法。密码学协议引入了多方之间的交互，由此也引入其他重要的安全假设。
这些安全假设对评价隐私保护技术方案的整体安全性、有效性、实用性至关重要，具体分析，敬请关注下文分解。
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